Finite-Elemente-Methode - FEM

Unter "finiten Elementen" lassen sich, abgeleitet von der Wortbedeutung her, wohl sehr viele Dinge, die nicht "un-endlich" gross sind, vorstellen. Die vorliegende Website bezieht sich aber ausschliesslich auf die Finite-Elemente-Methode (FEM), eine numerische Lösungsmethode im Bereich technischer Aufgabenstellungen, wo Festkörper rechnerisch in "endlich" kleine Teilkörper – "finite Elemente" – aufgeteilt werden, um beispielsweise deren Verformung zu berechnen.

Die Finite-Elemente-Methode ist heute die verbreitetste Methode, mit denen Berechnungsingenieure unter Verwendung von Spezialsoftware am Computer das Verformungsverhalten, die Beanspruchung und die Festigkeit von Maschinenteilen und Tragwerken berechnen und simulieren. Die Structalys GmbH in Zürich bietet solche Analysen als Dienstleistung an:

  • Slider_1
  • Slider_2
  • Slider_3
  • Slider_4
  • Slider_5
  • Slider_6
1 2 3 4 5 6

 

Bei Maschinenteilen und Tragwerken mit einfacher Geometrie lassen sich Beanspruchungen rasch ermitteln – meist reichen Formeln und Handrechnungen. Nicht so bei komplexen Bauteilen: Hier sind numerische Simulationen erforderlich, um seriöse Erkenntnisse über das Verformungsverhalten und die Festigkeit zu erlangen. Mit der FEM lässt sich dazu die Festigkeit von Festkörper mit beliebiger Form ausreichend exakt ermitteln, indem diese rechnerisch in "finite Elemente" aufgeteilt werden. Denn deren physikalisches Verhalten kann aufgrund ihrer einfachen Geometrie, wie die eines geraden Balkens, einer Platte oder eines Quaders, analytisch mittels Formeln der Kontinuumsmechanik gut berechnet werden.

Wikipedia liefert einige Infos zur FEM, allerdings mit viel Mathematik. Deshalb hier ein paar Erklärungen zusammengefasst am Beispiel der volumenförmigen Elemente für mechanische Berechnungen:

Die Enden und Ecken eines finiten Elements werden «Knoten» genannt. Anhand der Steifigkeit des finiten Elements k kann für Kräfte auf diese Knoten, f, auf die Verschiebungen der Knoten, u, geschlossen werden. Als Formel: f = k·u  oder:  u = k-1·f .

Sind die Knotenverschiebungen berechnet, werden mit Interpolationsfunktionen die Verschiebungen beliebiger Punkte zwischen den Knoten berechnet, und davon wiederum die Dehnungen abgeleitet. Für die Umrechnung von Dehnungen zu Spannungen benötigt man schliesslich ein passendes Materialgesetz.

Bei der Aufteilung einer Struktur in ein FE-Modell, einem Verbund von finiten Elementen, werden die Elementsteifigkeiten der Elemente anteilsmässig zu jedem Knoten verknüpft, sodass ein lineares Gleichungssystem analog zur Formel oben entsteht: Systemsteifigkeitsmatrix mal Knotenverschiebungsvektor gleich Knotenkraftvektor, K·u = f . Dieses Gleichungssystem kann sehr gross werden und wird in der Regel mit einem geeigneten Computer-Algorithmus gelöst.   

Mit spezieller CAE-Software lassen sich die sich ergebenen Knotenverschiebungen als verformte Struktur und die Spannungen und Dehnungen als Konturplot (Falschfarbenbild) grafisch darstellen.

Da in der FEM Dehnungen und Spannungen abgeleitete Grössen der Knotenverschiebungen sind, müssen letztere möglichst exakt bestimmt werden. Dies gelingt nur, wenn die Elementsteifigkeit die lokale Bauteilsteifigkeit genügend gut abbildet. Die Elementsteifigkeit beinhaltet neben der Materialsteifigkeit auch die Elementgrössen wie die Kantenlängen. Je stärker die Verläufe von Steifigkeit und Dehnung lokal variieren, desto kleiner müssen somit die finiten Elemente im Vergleich zur Grösse des modellierten Bauteils sein. Deswegen gilt: je feiner das «Netz» der finiten Elemente, desto genauer das Rechenergebnis.